Navegación Vertical (Descendente y Ascendente)

NAVEGACIÓN
VERTICAL
(Descendente y
Ascendente)

“No hay arriba o abajo, sólo dentro o fuera” (Richard Buckminster Fuller)

Navegación Vertical Descendente
Semántica

Seleccionar todos los componentes del primer nivel de la jerarquía de una expresión x, es decir, acceder al contenido de x.

Sintaxis

x↓

(x ↓)

El símbolo ↓ se lee “abajo” o “dentro”.

Justificación

Esta operación se corresponde con la función mental de análisis, de centrar la atención en los componentes de algo. El símbolo ↓ evoca la idea de ir hacia lo profundo, hacia un mayor detalle de las cosas.

Mediante esta primitiva es posible definir operaciones derivadas, como la unión de secuencias o de conjuntos.

Observaciones

La jerarquía de una expresión está definida mediante los delimitadores (paréntesis) del lenguaje utilizados en las secuencias y en los conjuntos:
La expresión x↓ también se denomina “contenido de x”.
Si x es una expresión cerrada (secuencia o conjunto), entonces x↓ es una expresión abierta.
Si x es un átomo, entonces por definición (x↓ = x).
Esta operación normalmente no está aislada. Casi siempre va asociada con otra, que indica lo que se va a hacer con el contenido.
Solo se accede al contenido de x. No hay transferencia de control al interior de x. Es decir, solo se obtiene el contenido. Este contenido no contiene ninguna referencia respecto de su origen, el origen se pierde.

Ejemplos
1. (x = (a b c)) x↓ // ev. a b c (expresión abierta)
2. (x = {a b c}) x↓ // ev. a b c (expresión abierta)
3. (x = a+b+c) x↓ // ev. a + b + c (expresión abierta)
4. (x = (a*b + a*c + b*c)) x↓ // ev. a*b + a*c + b*c (expresión abierta)
5. ( x={a b} y={c d} ) {x↓ y↓} // ev. {a b c d} (unión de los dos conjuntos)
6. a↓ // ev. a (a se considera una secuencia de un elemento)
7. a=1 ( a )↓ // ev. 1
8. (x = "texto") x↓ // ev. t e x t o (expresión abierta)
9. (a = 1) (b = 2) {a b} // ev. {1 2} {a b}↓ // ev. 1 2 ( {a b} )↓ // ev. {1 2} ( a )↓ // ev. 1

Recursión conceptual

La expresión x↓↓ indica seleccionar los componentes del segundo nivel de la jerarquía, x↓↓↓ especifica seleccionar los del tercer nivel, etc.

Un elemento (perteneciente a una expresión compuesta) se dice que es “terminal inferior” si pertenece al último nivel de la jerarquía.

Para saber si una expresión x es terminal inferior o no, hasta con comparar x con x↓ y ver si son iguales:

("x es una expresión terminal inferior" ← (x = x↓) →'


 "x no es una expresión terminal inferior")

Ejemplo:


(x = {a {b c} d})


x↓  // ev.  a {b c} d  (expresión abierta)


x↓↓  // ev.  b c  (expresión abierta)


x↓↓↓  // ev.  b c  (b y c son terminales inferiores)

Tipos de expresiones

Puede determinarse el tipo de una expresión a partir de la condición que cumple:

Tipo de expresión	Condición	x	Resultado
Abierta	(x)↓ = x	a b	(a b)↓ = a b
Secuencia	(( x↓ ) = x)	(a b)	(( (a b)↓ ) = (a b) )
Conjunto	({x↓} = x)	{a b}	( {{a b}↓} = {a b} )

Ejemplos de expresiones recursivas

(x =: (a b x↓)
x representa a la expresión infinita (a b a b a b ...)
(x =: (a (b x↓))
x representa a la expresión infinita (a (b a (b a (b a ...))))

Axiomas

( ()↓ = θ )
(el contenido de una secuencia vacía es la expresión nula)
( {}↓ = θ )
(el contenido de un conjunto vacío es la expresión nula)
⟨( ( x )↓ = x )⟩
⟨{ x }↓ = x )⟩
⟨( (x↓ = x) ← (x# = 1) )⟩
(un átomo, por definición, cumple esta propiedad)
⟨( θ↓ = θ )⟩

Navegación Vertical Ascendente
Semántica

Seleccionar el contexto de una expresión x, es decir, la expresión inmediata superior (superexpresión) que la contiene.

Sintaxis

x↑

(x ↑)

(el símblo ↑ se lee “arriba” o “fuera”)

Justificación

Esta primitiva es la contraria de la anterior. Ambas permiten acceder a los diferentes niveles de las expresiones.

Observaciones

Esta operación normalmente no está aislada. Casi siempre va asociada con otra, que indica lo que se va a hacer con el contexto.
Solo se accede al continente de x. No hay transferencia de control al exterior de x. Es decir, solo se obtiene el continente, y no contiene ninguna referencia respecto de su origen, el origen se pierde.

Ejemplos

(x = (a b c)) (x\2) // ev. b (x\2)↑ // ev. (a b c)
(x = (a (b c) d)) (x\2) // ev. (b c) (x\2)↑ // ev. (a (b c) d)
(x = (a (b c) (d e) f)) (x\2) // ev. (b c) (x\2)↑ // ev. (a (b c) (d e) f)

Recursión conceptual

La expresión x↑↑ indica acceder al contexto del contexto de x, es decir, ascender dos niveles en la jerarquía de x, x↑↑↑ indica ascender tres niveles, etc.

Una expresión se dice que es “terminal superior” si constituye el primer nivel de la jerarquía. Más allá de ese nivel, la expresión se autoevalúa.

Para saber si una expresión x es terminal superior o no, hasta con comparar x↑ con x y ver si son iguales:


("x es una expresión terminal superior" ← (x↑ = x) →'


 "x no es una expresión terminal superior")

Ejemplo:


(x = (a (b (c d))))


(x\2\2)  // ev.  (c d)


(x\2\1)↑  // ev.   (b (c d))


(x\2\1)↑↑  // ev.  (a (b (c d)))


(x\2\1)↑↑↑  // ev.  (x = (a (b (c d))))

Ejemplos de expresiones recursivas

(x =: (a b (x\1)↑))
x representa a la expresión infinita (a b (a b (a b (...))))
(x =: (a b (c (x\3)↑))
x representa a la expresión infinita (a b (c (a b (c (a b (c ...))))))

Combinación de ambos accesos jerárquicos

No es lo mismo bajar y luego subir que subir y luego bajar. Se puede haber subido desde diferentes lugares. Es decir, varias expresiones pueden tener el mismo continente. Ejemplos:

(x = ((a b) c) x\1 // ev. (a b) (x\1)↓ // ev. a b (x\1)↓↑ // ev. (a b) (es igual a x\1)
(x = (a b)) x\1 // ev. a (x\1)↑ // ev. (a b) (x\1)↑↓ // ev. a b (es diferente de x\1)

Por lo tanto,

⟨( x↓↑ = x )⟩

⟨( x↑↓ ≠ x )⟩